近两年上海高三数学模考题考点分析

重要思想

兵法云：知己知彼，百战不殆。对于高三学生而言，在高三一轮复习的时候，就要“知彼”，知道一模二模考的是什么，知道春考高考考哪些知识点，知道了以后，在复习的时候，就不会迷茫，就会有针对性、目的性。

本文从近两年的上海高三一模和二模的数学试卷中，对模考数学题涉及的考点，进行一些粗略的分析，希望对正在复习的高三学子有一些微薄的帮助。


为了方便分析，将所有考点分为八个部分：1.集合命题和不等式；2.函数专题；3.三角比与三角函数；4.数列专题；5.向量与复数；6.解析几何专题；7.立体几何专题；8.剩余专题（矩阵行列式算法二项式排列组合概率统计参数方程线性规划）

从分值上大致统计，可以得到各专题在模考试卷中的大致占比，排序依次为：函数>解析几何>数列>立体几何>剩余专题>三角函数>集合命题不等式>向量与复数。函数、解析几何、数列、立体几何占比较多，是因为数学模考五道大题中，这几个专题是必考。


剩余专题占比也很高，是因为涵盖了矩阵、行列式、算法、二项式、排列组合、概率、统计、参数方程、线性规划九个考点，当然一张试卷中不可能这九个都考，一般考2~4个。比如下面这张模考卷，

这是2018年宝山二模，第3题、第6题、第7题、第9题，第14题，均属于剩余专题，占了21分，占比算高的了，但难度上基本属于送分题，对考点方法熟练的考生，基本上3分钟就可以拿下这21分，可谓“性价比超值”. 但很多同学往往在这些方面不重视，导致失分，实在可惜

2017年各区模考数学题共573题（除去重复），其中：

第一部集合命题不等式有61道，

第二部函数专题有102道，

第三部三角函数有65道，

第四部数列专题有68道，

第五部向量复数有50道，

第六部解析几何有74道，

第七部立体几何有69道，

第八部剩余专题有84道。

（有些题目可能综合了多个专题，

则按主要考察的专题方向分类）

2018年各区模考数学题共608题（除去重复），其中：

第一部集合命题不等式有66道，

第二部函数专题有105道，

第三部三角函数有70道，

第四部数列专题有75道，

第五部向量复数有57道，

第六部解析几何有76道，

第七部立体几何有66道，

第八部剩余专题有93道。

（同样有些题目可能综合了多个专题，

则按主要考察的专题方向分类）

接下来，我们对这八个部分再进行更为细致的考点分析。

第一部 集合命题和不等式

这个部分，出题形式一般一模会有2~3道小题，二模会有1~2道小题，分值一般在8~14分左右，很少出现在大题中，大部分题目很简单，属于送分题，少部分有些难度。本专题大致分了9个考点题型：集合关系、集合运算、命题、充要条件、不等式性质、解不等式、基本不等式、不等式恒成立问题、专题综合问题。

按近两年各考点的综合分值占比，9个考点在本专题中的占比大致如下：

可以看出，在集合命题不等式这个专题中，充要条件、集合运算（交并补）、解不等式占据了大部分的比例，充要条件这个知识点占比高，是因为时常综合其他知识点进行考察，且绝大部分都为5分的选择题，如下图的这些例题，其实也考察了向量、数列、三角等方面的内容，但为了统一集中进行专项练习，就统一分到充要条件这个考点里面

并且，在充要条件的考点中，题型也是很集中的，如：

集合运算（交并补），也是绝大部分试卷会出的一道送分题，并且统一归纳整理后，可以看出，各区的题型高度统一，就那么几类。

解不等式也是一样，题型主要集中在解分式不等式和绝对值不等式，且各区高度雷同。

而其他考点诸如命题、基本不等式、不等式性质等在模考试卷中出现的频率较低。但出现频率低不代表可以忽视，往往这些低频考点才是区分度比较高的易错题。

第二部 函数专题

此专题在模考中一般2~4道小题，1道大题，少部分情况下会外加一个函数应用题，有一定难度，综合知识点较多，对能力考察较深。本专题大致分为9个考点题型：函数定义域、函数值域与最值、函数基本性质、函数图像、反函数、指对数方程、函数应用题、函数方程不等式综合、定义类函数综合。


按近两年各考点的综合分值占比，9个考点在本专题中的占比大致如下：

由图可得，定义类函数综合题型、函数性质、及函数方程不等式综合题型在函数专题中占据了大部分比重，函数应用题、反函数、值域最值问题，也占据着一定份额。函数的这些考点中、除了定义域、反函数、指对数方程考察相对比较简单，其他考点，并无太多可以取巧之处，需要在复习的时候硬啃。

从题目数量分析，2018年模考中，关于函数性质方面和函数应用题的题量，相比2017年是在增加的，与之对应的是，2018年模考中的函数方程不等式与定义类函数综合题型的题量，相比2017年略有减少。整体来看，函数的考察难度有所下降，但各区的情况又因区而异。

定义类函数综合题型，铁打的定义，流水的名字，什么K阶格点函数、对称函数、保值域函数、取上整函数、H函数、L函数、M类函数、性质P、P(a)性质、k-利普希兹条件函数、控制增长函数、T同比不减函数、可平衡函数、逼近函数、封闭函数、映像函数、依赖函数、最佳划分、正弦奇函数……，各种名字应有尽有，这方面和定义类数列综合题型是一样的，后面讲到数列的时候，我再罗列。没有命题老师想不到的名字，只有你做不错来的题。考试时遇到这种题，就按定义来，做的来就做，做不来就果断放。

函数性质相关题，更多出现在小题中，且大部分都考察奇偶性、单调性，而其他性质如零点、周期性、对称性等考察较少。

函数方程不等式综合题型，一般都含参数，离不开分类讨论，而分类讨论也是很多学生的死穴，所有得分率也不高。

函数应用题，一般理解好了题目，都不会太难。做应用题，最重要的是耐心和细心。重要的数据要用笔，边默读边划线标注。函数应用题中，收益利润最大问题考得最多，其次是面积最大问题，主要也是以这两个题材为载体考察值域最值问题。

对反函数的考察相对来说就比较单一了，题目雷同度很高，基本都算送分题，基本都会考那么一道，做着做着自己都能总结套路的。

函数专题的其他考点，如定义域、指对数方程等，基本和反函数的难度差不多了，属于送分题，但占比不高。所以总体来说，函数专题还是较难的，同学们在复习过程中，要做好打一场硬仗的准备。

第三部 三角比与三角函数

此专题在考试中大致分值在5~20分之间。出题形式一般1~2道小题，0~1道大题，难度一般，基本为常见题型，套路题型，对于知识方法掌握熟练的同学而言，基本也算送分题。常见考点题型大致分为5个：三角比恒等变换、三角函数图像性质、解三角形、三角函数应用题，三角函数综合题。

按近两年各考点的综合分值占比，5个考点在本专题中的占比大致如下：

各考点题型在本专题的考察分布比较均衡，虽然单纯的三角恒等变换考察相对较少，占比不多，但在三角函数综合题型及一些图像性质类的题目中，基本都涉及了三角恒等变换的一些公式。所以整体的真实占比，比图中所呈现的比例还要更均衡一些。

从近两年各考点题型的题量分值上看，2018年对三角函数图像性质方面及解三角形方面的考查要明显多于2017年，而在三角函数应用题的考查方面，则2018年是明显少于2017年的，可能是因为2018年的函数应用题更多了，所以三角函数的应用题就相应减少了。而在三角函数恒等变换、三角函数综合题型方面，近两年的浮动都不大。

三角函数图像性质方面，对最小正周期的考查频率最高，这种考查基本送分，考试看到必须心花怒放。其次是对三角函数单调性和三角函数值域最值方面的考查，结合图像分析，一般都不难，但易错，失分率较高。

三角函数的各考点，套路性都很强，并且很容易上手，如解三角形，心中牢记正弦定理、余弦定理即可。三角函数综合题型，也基本是先二倍角公式统一化，再辅助角公式，出来Asin(wx+y）的形式，再分析单调性或者值域最值，或者顺便解一下三角形。

对于中等程度的学生而言，要在模考中取得一个不难看的分数，三角函数部分是必须拿下的，不然回天乏力。

第四部 数列专题

数列专题在模考中大致分值有16~28分，出题形式一般0~2道小题，1道大题。小题难度中上，大题难度较大，综合性较强，一般作为压轴题。常见的考点题型大致分为6个：等差等比数列、通项与求和、数列单调性、数列极限、数列新定义题型、数列综合题型。

按近两年各考点的综合分值占比，6个考点在本专题中的占比大致如下：

由图可以看出，和函数专题一样，新定义类综合题，在数列专题中占据了最大的比重，因为基本都压轴，各区基本都有一道这样的压轴题。通项与求和题型以及数列综合题也占据不小的比重，因为很多也是以大题形式出现，占分值多。而等差等比性质、数列极限相关题，都是小题居多。


而对比2017年与2018年，等差等比性质、新定义类综合题的比重在增加，而数列单调性、数列普通综合题的比重在减少。且2017年没有数列应用题，而2018年在金山一模、崇明一模、闵行一模中均开始出现了数列的应用题，当然也是考查数列通项与求和。

和函数专题一样，我们也来罗列一些新定义类数列的名称，开心开心。性质P、性质P(k)、性质T、U数列、K数列、H型数列、H(k)数列、N型标准数列、指数数列、创新数列、逆序数、一阶差分数列、紧密数列、数列内积、准最大项、等比源数列、可控数列、封闭数列、伴随数列、双底数列、……熟悉熟悉这些名词，考场上不会做的时候，好歹有些熟悉感，不会太慌。


数列求通项与数列求和问题，小题大题都有，一般不会太难。记住求通项的常用方法：作差作商、累加累乘、构造归纳等等；记住求和的常用方法：倒序加、错位减、裂项分组或归纳。并且现在不少题目都喜欢分奇偶再求通项或求和，多转一个弯，失分率就大增。


数列普通的综合题，一般和函数、不等式、向量、集合甚至解析几何等其他知识点综合考查。如2018年青浦一模的这道：

而数列极限相关题型，考查就比较单一，除了求极限，就是无穷等比数列的各项和。比较简单，是送分题。

而等差等比数列的性质相关题，熟悉这些数列性质的话，基本都可以目测答案，秒解题目，屡试不爽。而关于数列的单调性，一般可以转化为函数单调性的定义去分析，只不过注意n∈N*，如果是小题考查数列单调性，很多可以通过计算器或者简单的归纳得到，可以大大减少运算量。


但取巧的题目毕竟少数，所以，数列专题的复习也要做好心理准备，数列是函数之后，第二块需要硬啃的硬骨头。

第五部 向量与复数

因为向量专题与复数专题都属于较小的模块，并且之间有一定的内在关联，所以并作第五部，一起分析。本专题在模考中的分值大致在4~13分左右，一般1~3道小题，偶尔会在大题中综合其他知识点出现。如2018的长宁嘉定一模、2018宝山一模、2018宝山二模、2018金山二模，大题中都出现了复数的相关内容。

尤其是2018宝山一模这道，此题一出，宝山大地，哀鸿遍野，民不聊生。向量与复数在模考中本身难度不大，但如果命题人想要它难，则它不敢不难。本专题常见的考点题型有5个：向量数量积与向量几何意义、平面向量相关性质、复数运算、复数几何意义、实系数一元二次方程。


按近两年各考点的综合分值占比，5个考点在本专题中的占比大致如下：

图中可以看出，向量数量积及几何意义（投影相关）的相关考点几乎占据了向量专题的大部分，而复数运算在复数专题中也是占据了半壁江山。而向量的相关性质（分解定理、共线定理、定比分点等）、复数的几何意义（复平面相关）、实系数一元二次方程（韦达定理、共轭根等）也占据着一定的比重。


对比2017年的模考题来看，2018年的模考题中，平面向量相关性质（分解定理、共线定理、定比分点等）、复数几何意义（复平面相关）以及实系数一元二次方程（韦达定理、共轭根等）的相关模考题明显有所增加，而复数运算的相关模考题则明显减少了。


并且2017年，复数没有作为大题出现，而在2018年的模考题中，长宁嘉定一模、宝山一模和二模、金山二模，大题中都出现了复数的相关内容。相比较来说，复数专题基本属于送分题，而向量专题的一些考题则有一定难度，常综合其他知识作小题的压轴题。

向量相关的压轴题一般综合性强，有一定技巧性，需要在复习训练的时候，多思考总结归纳，多做一些类似题型进行巩固强化。

第六部 解析几何专题

解析几何专题在模考中的分值大概20~30分左右，一般1~3道小题，1道大题。但一模因为各区复习进度不一样，有可能极少一些一模卷中不涉及解析几何内容，如2018年的长宁嘉定一模试卷就不涉及解析几何知识。但这种情况比较少。


解析几何专题，和函数专题、数列专题，并称高考三大专题。所以在难度上，属于中上难度。对比全国其他地区，上海在解析几何方面的难度是要降一个档次的，因为不讲离心率和准线，且题型较传统，函数也是，因为不讲导数。数列则不一样，一般比全国其他地方的数列题要难，因为综合性强，且涉及数论等一些较高级的知识。


个人认为，一般在上海的模考题中，压轴大题的难度顺序为：数列>函数>解析几何。解析几何虽然传统，一般就面积问题、值域问题、定值问题、存在性问题等，但一般运算量都比较大，容不得失误，很多学生经常是一步错导致全盘皆输，所以在解析几何专题，得分率也不高。


常见考点题型方面，分为6个考点：轨迹方程、直线方程、圆的方程、椭圆方程及相关综合题、双曲线方程及相关综合题、抛物线方程及相关综合题。按近两年各考点的综合分值占比，6个考点在本专题中的占比大致如下：

由图可以看出，椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程占据了解析几何专题的绝大部分比重。尤其是椭圆方程，在一模和二模中的差别就更明显，如2018年各区的一模试卷中，只有奉贤区的解析几何大题是双曲线相关题，其余各区的一模试卷的解析几何大题考的都是椭圆。可能跟复习的进度有一些关系。

而相比2017年的模考题，2018年的模考题中，椭圆相关题所占的比例明显增加了，对应的是双曲线相关题明显减少了，而抛物线、直线、圆的相关题都有少量增加。


解析几何的运算量繁复，对学生的计算能力有很高的要求，并且这种计算能力是计算器帮不上什么忙的，因为都是字母，所以遇到解析几何大题，也不要心存侥幸了，耐心细致去算，草稿纸上一步一步，踏实往下算，联立方程，韦达定理，该算算、该写写。这也是一块要硬啃的骨头。

第七部 立体几何专题

立体几何专题在模考中的分值大致在14~23分左右，出题形式一般有0~2道小题，1道大题。同样因为各区复习进度不一样，有可能极少一些一模卷中不涉及立体几何内容，如2018年的松江一模试卷就不涉及立体几何知识。


模考题中的立体几何相关题的难度偏易，基本属于送分题。套路明显直接，一般用几何法和空间向量法都能解决。但如果用空间向量法，计算量偏大，对计算能力有更高的要求。常见考点题型可以分为5个：立体几何判断题、多面体相关题（棱柱棱锥）、旋转体相关题（圆柱圆锥球）、斜二测与三视图、立体几何综合题（主要大题）。


按近两年各考点的综合分值占比，5个考点在本专题中的占比大致如下：

立体几何综合大题作为单独的题型归为一类，因为是大题，占分值多，所以占比很大。以多面体和旋转体为载体综合考察线线角、线面角、距离、体积、面积等相关知识。剩下的立体几何判断题、多面体、旋转体、斜二测与三视图基本以小题为主。


其中斜二测只在2017的青浦一模中考过，其他模考试卷均未再出现。三视图则相对考查较多。但对比2017年的模考题，2018年对三视图的考查更少了。甚至在2017年的普陀一模中，立体几何大题也涉及到了三视图，但2018年的模考卷中，没有立体几何大题涉及三视图。

多面体相对旋转体而言，考的相对较少。而旋转体中，以圆锥和球的体积和面积相关题考的较多，多与侧面积母线相关，题目相似度很高。而让很多学生比较头疼的球面距离，却考的相当少，仅在2017普陀一模和2018虹口二模出现过。

第八部 剩余专题

除了上文提及的七个较大专题之外，还有矩阵、行列式、算法框图、二项式定理、排列组合、概率、统计、参数方程、线性规划等9个较小的知识模块。所以统一放入剩余专题进行考点分析。该专题在模考中占分值大概8~18分左右，出题形式一般为2~4道小题，难易程度方面，大部分很简单，属送分题，仅有少部分较难。


按近两年各考点的综合分值占比，9个考点在本专题中的占比大致如下：

由图可以看出，二项式定理的占比还是很高的，其次是概率与排列组合。而除了算法考得很少，仅在2017年青浦一模、松江一模、2018年松江一模、静安二模中出现过。其他考点的考查比重都差不多在5%~10%左右。

而对比2017年来看，2018年的模考题中，矩阵、二项式定理的考查比例明显增加，而统计和参数方程的考查比例则明显下降

2018年模考中对统计知识的考查只有这4题

参数方程模考选题

通过以上介绍，同学们是否对高三的一模二模有了一些底呢？所以，专项练习对于高三学生而言，是很重要的。之前在文章中，也提到专项训练很重要。而练习题的选择尤为重要。


现阶段，因为很多高中的一轮复习或许才刚刚开始，此时刷一模卷或许为时略早（当然也是要因人而异，有些同学在暑假就复习完成），不少学生和老师都向我提起过专题练习的需求，所以花了整个九月份，将2017年和2018年的一模二模模考题，按上文所述的八个部分进行了分类汇编，整理成册，印制成书，是名《天龙八部》（上文的试题截图均来源于此书）。


《天龙八部》有2017年和2018年两个版本。所有选题均来源于2017年或2018年上海各区的高三一模试卷及二模试卷，且涵盖这两年模考试卷中的所有题目。其中《天龙八部》2017版共收录573题，《天龙八部》2018版共收录608题，每一题均标有试题来源。


另外，每个专题都附有相应的知识梳理和公式总结（来源于《降龙十八章》，此书知识梳理更全面更详细），每个大专题内部又重新进行考点分类归纳，每个考点又按主要题型再次细分。并且对每一道题，都进行了解析，即每一题都有详细过程，详解另外装订成册，印制成书，与试题汇编分离，均可单独购买。相应价格如下：


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